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Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Intro(BinaryTree) #
- 二叉树 #
  - 定义 #
    
    二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2i-1个结点；深度为k的二叉树至多有2k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
  - 性质 #
    
    1). 在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过2i-1, i>=1;
    2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点;
    3). 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
    4). 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2(n+1);
    5). 有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
        若I为结点编号则如果I>1，则其父结点的编号为I/2；
        如果2I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2I；若2I>N，则无左儿子；
        如果2I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2I+1；若2I+1>N，则无右儿子。
    6). 给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树，其中h(N)为卡特兰数的第N项，h(n)=C(2*n, n)/(n+1)。
    7). 设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i。
- 满二叉树 #
  - 定义 #
    
    除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点。也可以这样理解，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值，所有叶子结点必须在同一层上。
  - 性质 #
    
    1) 一颗树深度为h，最大层数为k，深度与最大层数相同，k=h;
    2). 叶子数为2h;
    3). 第k层的结点数是：2k-1;
    4). 总结点数是：2k-1，且总节点数一定是奇数。
- 完全二叉树 #
  - 定义 #
    
    若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
    
    完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化，二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。
- 示例 #
- 线索化二叉树 #
  
  wiki: 在计算机科学中，线索二叉树（或称引线二叉树）是添加了直接指向节点的前驱和后继的指针的二叉树。
  
  图解与代码 #

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Intro(AVL) #

平衡二叉树又称AVL树。它可以是一颗空树，或者具有以下性质的二叉排序树：它的左子树和右子树的高度之差(平衡因子)的绝对值不超过1且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。因此它也被称为高度平衡树。
查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是 \({\color{red}O(\log_2 N)}\)。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转，以实现树的重新平衡。
AVL 树得名于它的发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中公开了这一数据结构。
- 来源 #
  
  为什么需要AVL：二叉搜索树一定程度上可以提高搜索效率，但是当原序列有序时，例如序列 A = {1，2，3，4，5，6}，构造二叉搜索树如下图。依据此序列构造的二叉搜索树为右斜树，同时二叉树退化成单链表，搜索效率降低为 \({\color{red}O(N)}\)。
  
  在此二叉搜索树中查找元素 6 需要查找 6 次。
  二叉搜索树的查找效率取决于树的高度，因此保持树的高度最小，即可保证树的查找效率。同样的序列 A，将其改为图右的方式存储，查找元素 6 时只需比较 3 次，查找效率提升一倍。
  
  可以看出当节点数目一定，保持树的左右两端保持平衡，树的查找效率最高。这种左右子树的高度相差不超过 1 的树为平衡二叉树。
- 定义 #
  
  简称平衡二叉树。由前苏联的数学家 Adelse-Velskil 和 Landis 在 1962 年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名也称为 AVL 树
  
  示例AVL.
  
  反示例AVL.
- 性质 #
  
  1. 可以是空树。
  2. 假如不是空树，任何一个结点的左子树与右子树都是平衡二叉树，并且高度之差的绝对值不超过 1。
- 平衡因子 #
  
  某节点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该节点的平衡因子（BF,Balance Factor），平衡二叉树中不存在平衡因子大于 1 的节点。在一棵平衡二叉树中，节点的平衡因子只能取 0 、1 或者 -1 ，分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Intro(Red-Black) #
- 定义 #
- 示例 #
- 性质 #
  1. 每个节点非黑即红。
  2. 根节点是黑色的。
  3. 每个NULL叶结点是黑色的[示例没画出来]。
  4. 如果一个节点是红色的，那么它的两个子节点都是黑色的。
  5. 从任一节点到叶子节点的所有路径上都包含相同数目的黑色节点(黑高相同)
- 来源 #
- 平衡因子 #
- 平衡 #

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Intro(BinaryTree) #

二叉树 #

定义 #

性质 #

满二叉树 #

定义 #

性质 #

完全二叉树 #

定义 #

示例 #

线索化二叉树 #

图解与代码 #

Intro(AVL) #

来源 #

定义 #

性质 #

平衡因子 #

Intro(Red-Black) #

定义 #

示例 #

性质 #

来源 #

平衡因子 #

平衡 #

Reference #